Question

7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在AB上，AD=9，BD=3，EA=EC，∠ECD=45°，則BE的長為$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．

Answer 1

分析 延長CE交AB于M，作MN⊥AC于N，EK⊥AC于K，EF⊥BC于F，將△ACM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，連接DH，欲求BE只要求出EF、BF即可，首先證明DM²=AM²=DB²，利用這個關(guān)系可以求出AM，再根據(jù)勾股定理、平行線分線段成比例定理即可解決問題．

解答 解：延長CE交AB于M，作MN⊥AC于N，EK⊥AC于K，EF⊥BC于F，將△ACM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，連接DH．
∵∠ACM=∠BCE，∠MCD=45°，
∴∠ACM+∠BCD=45°，
∴∠BCD+∠BCH=45°，
∴∠DCM=∠DCH，
在△CDM和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠DCM=∠DCH}\\{CM=CH}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△CDH，
∴MD=DH，
∵∠A=∠CBH=45°，∠ABC=45°，AM=BH，
∴∠DBH=90°，DH²=BH²+DB²，
∴DM²=AM²+BD²，設(shè)AM=x，則DM=9-x，（9-x）²=3²+x²，解得x=4，
∴AM=4，DM=5，
∵△ABC，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AC=BC=6$\sqrt{2}$，AN=MN=2$\sqrt{2}$，
∵EK⊥AC，EA=EC，
∴AK=KC=3$\sqrt{2}$，NK=AK-AN=$\sqrt{2}$，
∵EK∥MN，
∴$\frac{CK}{CN}=\frac{EK}{MN}$，
∴EK=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠EKC=∠EFC=∠KCF=90°，
∴四邊形KEFC是矩形，
∴KC=EF=3$\sqrt{2}$，KE=CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BF=BC-CF=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用勾股定理解決線段問題，題目有點難度．