Question

16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊BC上，聯(lián)結(jié)BE、DF，DF交對角線AC于點(diǎn)G，且DE=DG；
（1）求證：AE=CG；
（2）求證：BE∥DF．

Answer 1

分析 （1）先證∠AED=∠CGD，再證明△ADE≌△CDG，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
（2）先證明△BCE≌△DCE，得出對應(yīng)角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可證出平行線．

解答 證明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CGD}&{\;}\\{∠DAC=∠DCA}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．