Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC邊上一動點，G是BC邊上的一動點，GE∥AD分別交AC、BA或其延長線于F、E兩點
（1）如圖1，當(dāng)BC=5BD時，求證：EG⊥BC；
（2）如圖2，當(dāng)BD=CD時，F(xiàn)G+EG是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，DG的值=$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出BC，進一步求得BD，根據(jù)“SAS”證得△BDA∽△BAC，得出∠BDA=∠BAC=90°，EG∥AD，進一步得出結(jié)論；
（2）當(dāng)BD=CD時，F(xiàn)G+EG=2$\sqrt{5}$不發(fā)生變化，利用△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE求得結(jié)論成立（也可作出輔助線，輔助線多種作法求得結(jié)論）；
（3）分兩種情況：F在CA的延長線上和E在BA的延長線上，由此畫出圖形，利用相似得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=2，AC=4，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵BC=5BD，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BA}{BD}$=$\frac{BC}{BA}$=$\sqrt{5}$
又∵∠DBA=∠ABC，
∴△BDA∽△BAC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∵EG∥AD，
∴EG⊥BC．
（2）FG=EG=2$\sqrt{5}$不變，
證法1：如圖2，

∵EG∥AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{CG}{CD}$，
同理$\frac{EG}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，
∵BD=CD，
∴$\frac{FG}{AD}$+$\frac{EG}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$+$\frac{CG}{CD}$=2，
∴EG+FG=2AD，
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
∴EG+FG=2AD=2$\sqrt{5}$．
證法2：如圖3，

取EF的中點，易證四邊形ADGH是平行四邊形，
得出EG+FG=2GH=2AD=2$\sqrt{5}$．
證法3：如圖4，

中線AD加倍到M，易證四邊形AMNE是平行四邊形，
得出EG+FG=EN=AM=2AD=2$\sqrt{5}$．
（3）如圖5，

當(dāng)BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，
則GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，$\frac{CG}{CD}$=$\frac{GF}{AD}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{GF}{GE}$=$\frac{2}{1}$；
又BG+CG=2$\sqrt{5}$，
∴BG=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴DG=BD=BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
如圖6，

當(dāng)BD=CD，F(xiàn)G=2EF時，
則GE=EF，
∵GE∥AD，AD∥GF，
∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，
∴$\frac{GF}{AD}$=$\frac{CG}{CD}$，$\frac{GE}{AD}$=$\frac{BG}{BD}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{GF}{GE}$=$\frac{2}{3}$；
又BG+CG=2$\sqrt{5}$，
∴CG=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴DG=CD-CG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
綜上所知DG為$\frac{\sqrt{5}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題考查相似的綜合，勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于結(jié)合題意，分類畫出圖形，探討問題的答案．