Question

7．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）若BC=6，tan∠F=$2\sqrt{2}$，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PB為圓的切線，得到OB垂直于BP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及垂直的定義得到OA垂直于AP，即PA為圓O的切線；
（2）EF²=4DO•PO，理由為：由一對(duì)直角相等，一對(duì)公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．
（3）連接AE，由已知條件設(shè)AE=x，AF=2x，根據(jù)勾股定理得出EF，由面積得出AD，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出cos∠ACB的值，再求出OD、OP的長(zhǎng)，即可求出線段PE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OB，
∵PB與圓O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{OP=OP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
則直線PA為圓O的切線；
（2）EF²=4DO•PO，理由為：
證明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，
∵EF為圓的直徑，即EF=2OA，
∴$\frac{1}{4}$EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP．
故答案為：EF²=4OD•OP；
（3）連接AE，如圖所示：
∵EF為直徑，
∴∠FAE=90°．
∵tan∠F=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=2$\sqrt{2}$，
∴設(shè)AE=x，AF=2$\sqrt{2}$x，
則由勾股定理，得EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=3x，
∵$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•AD，
∴AD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴Rt△ABC中，AC=x，BC²+AB²=AC²，
∴6²+（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x）²=（3x）²，
解得：x=$\frac{18}{7}$，
∴AC=3x=$\frac{54}{7}$，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{7}{9}$；
∵AD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{18}{7}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{27}{7}$，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{21}{7}$，
又∵OA²=OD•OP，
∴OP=$\frac{O{A}^{2}}{OD}$=$\frac{243}{49}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{243}{49}$-$\frac{27}{7}$=$\frac{54}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程以達(dá)到求解的目的是解題的關(guān)鍵．