Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（-1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①4ac＜b²；
②方程ax²+bx+c=0的兩個根是x₁=-1，x₂=3；
③3a+c＞0；
④當y＞0時，x的取值范圍是-1≤x＜3；
⑤當x＜0時，y隨x增大而增大；
其中結(jié)論正確有①②⑤．

Answer 1

分析 利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a，然后根據(jù)x=-1時函數(shù)值為0可得到3a+c=0，則可對③進行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對④進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
而點（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點的坐標為（3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的兩個根是x₁=-1，x₂=3，所以②正確；
∵x=-$\frac{2a}$=1，即b=-2a，
而x=-1時，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③錯誤；
∵拋物線與x軸的兩點坐標為（-1，0），（3，0），
∴當-1＜x＜3時，y＞0，所以④錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴當x＜1時，y隨x增大而增大，所以⑤正確．
故答案為①②⑤．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．