Question

19．已知直線l₁的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-2，且與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為x²-7x-8=0中較大的解，直線l₂過A、C兩點(diǎn)．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BP，當(dāng)S_△ABP=20時(shí)，求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；
（3）在（2）問中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)面積的和差，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)解析式；
（3）分類討論：當(dāng)AP=PB時(shí)，當(dāng)AB=AP時(shí)，當(dāng)AB=BP時(shí)，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，即B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{3}$x-2-0，解得x=-6，即A點(diǎn)坐標(biāo)是（-6，0），
x²-7x-8=0，
因式分解，得（x-8）（x+1）=0，
解得x=8或x=-1．
C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）．
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，直線l₂過A、C兩點(diǎn)，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
故直線l₂的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8；
（2）設(shè)P（a，b），由面積的和差，得
S_△ABP=S_△ABC-S_△BCP，
即$\frac{1}{2}$×[8-（-2）]×|-6|-$\frac{1}{2}$[8-（-2）]|x|=20．
解得x=-2，x=2（不符合題意要舍去），
b=$\frac{4}{3}$×（-2）+8=$\frac{16}{3}$，
即P（-2，$\frac{16}{3}$）．
設(shè)過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{{k}_{1}}{x}$，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
k₁=-2×$\frac{16}{3}$=-$\frac{32}{3}$，
故過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{\frac{32}{3}}{x}$；
（3）①當(dāng)AP=PB時(shí)，P與C點(diǎn)重合，即t=0，
②當(dāng)AB=AP時(shí)，AP=AB=$\sqrt{（-6）^{2}+（0+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，PC=AC-AP=10-2$\sqrt{10}$；
③當(dāng)AB=BP時(shí)，設(shè)P（a，$\frac{4}{3}$a+8），a²+（$\frac{4}{3}$a+8+2）²=（-6）²+2²，
化簡(jiǎn)，得
5a²+48a+108=0．解得a=-6.2（不符合題意要舍去）a=-3.4，
$\frac{4}{3}$a+8=$\frac{52}{15}$，即P（-$\frac{17}{5}$，$\frac{52}{15}$）．
PC=$\sqrt{（-\frac{17}{5}）^{2}+（8-\frac{52}{15}）^{2}}$=$\frac{17}{3}$，
即t=$\frac{17}{3}$．
綜上所述：t=0，t=10-2$\sqrt{10}$，t=$\frac{17}{3}$以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用面積的和差得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（3）分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．