Question

2．如圖，四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，BC平行x軸交y軸于E，BC=9，A（-2，2），D（1，2），C（4，-2）．
（1）求直線AB的解析式．
（2）若H（-1，-l），動點(diǎn)G從B出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿BC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動（點(diǎn)G不與點(diǎn)E重合），求△HGE的面積S與點(diǎn)G的運(yùn)動時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t=$\frac{7}{2}$秒時(shí)，點(diǎn)G停止運(yùn)動，此時(shí)直線GH與y軸交于點(diǎn)N，另一個(gè)點(diǎn)P開始從B出發(fā)，按B→A→D→C→B的方向以l個(gè)單位/秒的速度沿四邊形ABCD的邊運(yùn)動一周就停止運(yùn)動．
①求直線GH的解析式和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
②設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)△PHN是等腰三角形時(shí)，求滿足條件的所有t的值．
（需要時(shí)可用結(jié)論：若直線l₁：y=k₁x+b₁與直線l₂：y=k₂x+b₂垂直，則k₁•k₂=-1）

Answer 1

分析 （1）作AF⊥BC．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)BC=9，可求出CE=4，BE=5，又知道點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求出解析式；
（2）本題要分兩種情況討論：首先當(dāng)G在線段BE上且不與點(diǎn)E重合，可得GE=5-t，S=（5-t）×1×$\frac{1}{2}$，當(dāng)G在線段CE上且不與點(diǎn)E重合，這時(shí)候GE=t-5，S=（t-5）×1×$\frac{1}{2}$，分別求出自變量的取值范圍即可；
（3）如圖可求出GE的長與點(diǎn)G的坐標(biāo)后可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論．

解答  解：（1）如圖1，
∵BC平行x軸交y軸于E，BC=9，C（4，-2），∴BE=5，
∴B（-5，-2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-2k+b}\\{-2=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$；

（2）如圖1，由題意得：
當(dāng)點(diǎn)G在線段BE上且不與點(diǎn)E重合，
GE=5-t，
∴S=（5-t）×1×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{5}{2}$，（0≤t＜5），
當(dāng)點(diǎn)G在線段CE上且不與點(diǎn)E重合，
GE=t-5，
S=（t-5）×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$（5＜t≤9）；

（3）①如圖2，當(dāng)t=$\frac{7}{2}$秒時(shí)，
GE=5-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴G（-$\frac{3}{2}$，-2），
∴直線的GH的解析式為：y=2x+1，
令x=0，則y=1，
∴N（0，1）
②由H（-1，-1），N（0，1），
求得直線HN的解析式為：y=2x+1，
∴直線HN與x軸的交點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，0），
∴HN的垂直平分線經(jīng)過（-$\frac{1}{2}$，0），
∴其解析式為：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$，
與邊AB交于P₁，與邊BC交于P₂，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$：解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{59}{22}}\\{y=\frac{12}{11}}\end{array}\right.$，
∴P₁B=$\frac{85}{22}$，
當(dāng)P₁H=P₁N時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動到P₁處，
∴t₁=$\frac{85}{22}$，
與邊BC交于p₂，
解方程組
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴t₂=$\frac{27}{2}$
∵AB=$\sqrt{{（5-2）}^{2}{+（2+2）}^{2}}$=5，CD=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（2+2）}^{2}}=5$，
HN=$\sqrt{5}$，
當(dāng)P₃N=HN時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P₃重合，
∴t₃=5，
當(dāng)P₄N=HN=$\sqrt{5}$時(shí)，
∵直線CD的解析式為：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$，
設(shè)P₄[x，（$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$）]
∴${x}^{2}{+（-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}-1）}^{2}=5$，
解得：x₁=$\frac{28+6\sqrt{19}}{25}$（不合題意舍去），x₂=$\frac{28-6\sqrt{19}}{25}$（不合題意舍去），
當(dāng)與邊BC相交時(shí)，
p₅H=NH=$\sqrt{5}$時(shí)，
∵直線BC的解析式為：y=-2，
p₅（x，-2），
∴x²+（-2-1）²=5，
解得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（舍去），
∴t₅=17-$\sqrt{5}$，
故滿足條件的所有t的值為：
t₁=$\frac{85}{22}$，t₂=$\frac{27}{2}$，t₃=5，t₄=17-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的一次函數(shù)的運(yùn)用及分段函數(shù)的運(yùn)用，利用一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想是解決此題的關(guān)鍵．