Question

4．如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點M，CM交⊙O于點D．
（1）求證：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠M的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案；
（2）作AG⊥CM于G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AG的長，根據(jù)勾股定理求出CG，得到答案．

解答 （1）證明：連接OA，
∵AM是⊙O的切線，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理的，CG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
則MC=2CG=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的應用，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵．