Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線EF，交AB和AC的延長線于E、F．
（1）求證：FE⊥AB；
（2）當AE=6，sin∠CFD=$\frac{3}{5}$時，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）先證明OD∥AB，得出∠ODF=∠AEF，再由切線的性質得出∠ODF=90°，證出∠AEF=90°，即可得出結論；
（2）設OA=OD=OC=r，先由三角函數(shù)求出AF，再證明△ODF∽△AEF，得出對應邊成比例求出半徑，得出AB，即可求出EB．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODF=∠AEF，
∵EF與⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∴∠AEF=∠ODF=90°，
∴EF⊥AB；
（2）解：設OA=OD=OC=r，
由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF，
在Rt△AEF中，sin∠CFD=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，AE=6，
∴AF=10，
∵OD∥AB，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OF}{AF}=\frac{OD}{AE}$，
∴$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$，
解得r=$\frac{15}{4}$，
∴AB=AC=2r=$\frac{15}{2}$，
∴EB=AB-AE=$\frac{15}{2}$-6=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及解直角三角形；熟練掌握切線的性質，并能進行有關推理計算是解決問題的關鍵．