Question

1．已知：點(diǎn)A（0，a）在y軸正半軸上，且滿足$\sqrt{a-3}$+3$\sqrt{3-a}$=b+5，B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，D為BC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：$\frac{BO}{CF}$為定值．

Answer 1

分析 如圖，連接AD交OB于K，連接AF，由△AKO∽△BKD，推出$\frac{AK}{BK}$=$\frac{OK}{KD}$，推出$\frac{AK}{OK}$=$\frac{BK}{KD}$，推出△AKB≌△OKD，推出∠BAK=∠KOD=∠FOE=45°，∠ABK=∠KDO，同法由△AGD∽△FGC，推出△AGF∽△DGC，推出∠AFC=90°，再證明△ABO≌△ACF即可解決問題．

解答 證明：如圖，連接AD交OB于K，連接AF．
∵∠BAC=90°，AB=AC，BD=DC，
∴AD=DB=DC，
∴∠ACD=∠BAD=∠DAC=45°，
∵∠AKO=∠BKD，∠AOK=∠BDK，
∴△AKO∽△BKD，
∴$\frac{AK}{BK}$=$\frac{OK}{KD}$，
∴$\frac{AK}{OK}$=$\frac{BK}{KD}$，∵∠AKB=∠DKO，
∴△AKB≌△OKD，
∴∠BAK=∠KOD=∠FOE=45°，∠ABK=∠KDO，
∵∠CF⊥x軸，
∴∠OFE=45°，
∵∠GAD=∠GFC，∠AGD=∠CGF，
∴△AGD∽△FGC，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DG}{GC}$，∠ADG=∠GCF，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{FG}{GC}$，∵∠AGF=∠DGC，
∴△AGF∽△DGC，
∴∠AFG=∠GCD=45°，
∴∠AFC=90°，
∵∠ABO=∠ACF，∠AOB=∠AFC，AB=AC，
∴△ABO≌△ACF，
∴OB=CF，
∴$\frac{OB}{CF}$=1=定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．