Question

3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，點(diǎn)E在AB上，AE=4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)寫出菱形ABCD的面積：80；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著線段EF向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
②以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑的⊙P是否能與直線AD相切？如果能，求此時(shí)t的值；如果不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD于N，如圖1，在Rt△ANB中，運(yùn)用三角函數(shù)求出BN，就可求出菱形ABCD的面積；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于M，如圖2．由題意可知AE=4，AP=EQ=5，EP=AP-AE=1，然后運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理就可依次求出PM、EM、MQ、PQ的值；
②過(guò)P作PH⊥AD于H，交EF于G點(diǎn)，如圖3，若以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑的⊙P與直線AD相切，則PH=PQ，然后用t的代數(shù)式表示PH²和PQ²，根據(jù)PH²=PQ²建立關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程，就可求出t的值．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD于N，如圖1．

BN=AB•sinA=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴S_菱形ABCD=AD•BN=10×8=80．
故答案為80；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于M，如圖2．

由題意可知AE=4，AP=EQ=5，EP=AP-AE=1．
∵EF∥AD，∴∠BEF=∠A，
∴sin∠BEF=$\frac{PM}{EP}$=sinA=$\frac{4}{5}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$，
在Rt△PME中，EM=$\sqrt{E{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
則有MQ=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$．
在Rt△PQM中，PQ=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{22}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
即PQ的長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$；
②過(guò)P作PH⊥AD于H，交EF于G點(diǎn)，如圖3，

則PH=$\frac{4}{5}$t，PE=t-4，PG=$\frac{4}{5}$（t-4），EG=$\frac{3}{5}$（t-4），
∴GQ=EQ-EG=t-$\frac{3}{5}$（t-4）=$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$，
∴PQ²=PG²+GQ²=（$\frac{4}{5}$t-$\frac{16}{5}$）²+（$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$）²．
若以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑的⊙P與直線AD相切，則PH=PQ，
則有（$\frac{4}{5}$t）²=（$\frac{4}{5}$t-$\frac{16}{5}$）²+（$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$）²，
整理得t²-20t+100=0，
解得：t₁=t₂=10．
此時(shí)t的值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理、解一元二次方程等知識(shí)，運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理求線段的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．