Question

8．觀察下列等式：
第一個等式：${a}_{1}=\frac{2}{1+3×2+2×{2}^{2}}=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}$
第二個等式：${a}_{2}=\frac{{2}^{2}}{1+3×{2}^{2}+2×（{2}^{2}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}$
第三個等式：${a}_{3}=\frac{{2}^{3}}{1+3×{2}^{3}+2×（{2}^{3}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{3}+1}-\frac{1}{{2}^{4}+1}$
第四個等式：${a}_{4}=\frac{{2}^{4}}{1+3×{2}^{4}+2×（{2}^{4}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{4}+1}-\frac{1}{{2}^{5}+1}$
按上述規(guī)律，回答下列問題：
（1）請寫出第六個等式：a₆=$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=$\frac{14}{43}$（得出最簡結(jié)果）；
（4）計算：a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知4個等式可得；
（2）根據(jù)已知等式得出答案；
（3）利用所得等式的規(guī)律列出算式，然后兩兩相消，計算化簡后的算式即可得；
（4）根據(jù)已知等式規(guī)律，列項相消求解可得．

解答 解：（1）由題意知，a₆=$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$，
故答案為：$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$，$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$；

（2）a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
故答案為：$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$，$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；

（3）原式=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+$\frac{1}{{2}^{3}+1}$-$\frac{1}{{2}^{4}+1}$+$\frac{1}{{2}^{4}+1}$-$\frac{1}{{2}^{5}+1}$+$\frac{1}{{2}^{5}+1}$-$\frac{1}{{2}^{6}+1}$+$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$
=$\frac{14}{43}$，
故答案為：$\frac{14}{43}$；

（4）原式=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{{2}^{n+1}-2}{3（{2}^{n+1}+1）}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出等式的變化規(guī)律及列項相消法求解．