Question

4．如圖1，在?ABEF中，AB=2，AF＜AB，現(xiàn)將線段EF在直線EF上移動，在移動過程中，設(shè)線段EF的對應(yīng)線段為CD，連接AD、BC．
（1）在上述移動過程中，對于四邊形的說法不正確的是B
A．面積保持不變　　　　　　　B．只有一個(gè)時(shí)刻為菱形
C．只有一個(gè)時(shí)刻為矩形　            D．周長改變
（2）在上述移動過程中，如圖2，若將△ABD沿著BD折疊得到△A′BD（點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合），A′B交CD于點(diǎn)O．
①試問A′C與BD平行嗎？請說明理由；
②若以A′、D、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且對角線的夾角為60°，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)對折的性質(zhì)得出對應(yīng)邊和角相等，再根據(jù)平行線的判定解答即可；
②根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析解答．

解答 解：（1）因?yàn)槠揭�，AB保持不變，且AB與CD間的距離不變，所以四邊形ABCD的面積不變，故A正確；
當(dāng)AD⊥CD時(shí)，四邊形ABCD可以是矩形，故C正確；
因?yàn)锳D的長度有變化，所以四邊形ABCD的周長改變，故D正確；
故選B．
（2）①A'C∥BD．理由如下：
如圖2，

由?ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，
又根據(jù)對折可知AB=A'B，∠3=∠2，
∴A'B=CD，∠1=∠3，
∴OD=OB．
∴OA'=OC，
∴∠4=∠5．
∵∠BOD=∠A'OC，
∴∠4+∠5=∠1+∠3，
即∠1=∠4，
∴A'C∥BD．
②如圖3，

由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．
當(dāng)四邊形A'DBC矩形時(shí)，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．
當(dāng)∠A'OD=60°，則∠DOB=120°，
∴∠1=30°．
∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．
∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，AD=$\frac{1}{2}$AB=1．
當(dāng)∠DOB=60°（如圖4），

則△ODB為正三角形，
∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°，BD=OD=1．
∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，tan∠2=$\frac{AD}{BD}$，
∴AD=BD•tan∠2=1•tan60°=$\sqrt{3}$．
綜上可得，AD的長為1或$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平移和對折的性質(zhì)分析，同時(shí)注意矩形和等邊三角形的有關(guān)知識．