Question

10．如圖，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與斜邊OA交于點(diǎn)C，與另一直角邊交于點(diǎn)D，若OC：CA=1：2，且S_△OCD=8，求k的值．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，由“CE⊥x軸，AB⊥OB”可得出△OCE∽△OAB，即找出$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，再結(jié)合OC：CA=1：2即可得出OB=3OE，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），即可找出點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)，通過分割三角形以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵CE⊥x軸，AB⊥OB，
∴CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$．
∵OC：CA=1：2，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OC+CA}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$．
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象在第一象限，
∴k＞0．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3n，$\frac{k}{3n}$），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3n，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0）．
S_△OCD=S_矩形OECF+S_梯形EBDC-S_△OCF-S_△OBD，
=|k|+$\frac{1}{2}$（BD+CE）•BE-$\frac{1}{2}$|k|-$\frac{1}{2}$|k|，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{n}$+$\frac{k}{3n}$）•（3n-n），
=$\frac{4}{3}$k=8，
解得：k=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式以及矩形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于k的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過分割圖形求△OCD的面積，以此找出關(guān)于k的方程是關(guān)鍵．