Question

13．如圖所示，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x、y軸分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn)，C點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO方向運(yùn)動，將點(diǎn)C繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為E，連接PC，PD，PB．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜8），當(dāng)以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOP相似時(shí)，寫出所有t的值0或$\frac{16}{3}$或6-$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 過C作CF⊥x軸于F，先求得CF=3，然后根據(jù)△PFC≌△DEP求得PE=CF=3，PE=4-t，OP=8-t或OP=t-8，最后根據(jù)以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOP相似時(shí)，對應(yīng)邊成比例即可求得t的值．

解答 解：過C作CF⊥x軸于F，
∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x、y軸分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn)，
∴A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=∠PFC，
∴CF∥OB，
∵AC=BC，
∴FC=$\frac{1}{2}$OB=3，F(xiàn)A=$\frac{1}{2}$OA=4，
∴PF=4-t，
∵∠FPC+∠DPE=90°，∠FPC+∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠DPE，
∵PC=PD，∠PFC=∠PED=90°，
∴△PFC≌△DEP，
∴DE=PF=4-t，PE=FC=3，
∵以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOP相似時(shí)，
∴$\frac{PE}{OP}$=$\frac{DE}{OB}$或$\frac{PE}{OB}$=$\frac{DE}{OP}$即$\frac{3}{8-t}$=$\frac{4-t}{6}$或$\frac{3}{6}$=$\frac{4-t}{8-t}$，
解得：t=6+$\sqrt{22}$或t=6-$\sqrt{22}$或t=0或t=$\frac{16}{3}$．
∵0＜t＜8，
故答案為：0或$\frac{16}{3}$或6-$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求得移動點(diǎn)移動的距離，難點(diǎn)在于要把各種情況考慮周全．