Question

20．如圖，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿射線AB，BC運動，且它們的速度都為2cm/s．設點P的運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，△ABQ≌△CBP．
（2）連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠CMQ=60°；

解答 解：（1）∵，△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP，
∴2t=5-2t，
∴t=$\frac{5}{4}$
∴t=$\frac{5}{4}$s時，△ABQ≌△CBP．

（2）結論：∠CMQ=60°不變．
理由：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

點評 此題是一個綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識．熟知等邊三角形的三個內角都是60°是解答此題的關鍵．