Question

2．如圖所示，在同一直角坐標系xOy中，有雙曲線y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$，直線y₂=k₂x+b₁，y₃=k₃x+b₂，且點A（2，5），點B（-6，n）在雙曲線的圖象上
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）若y₃與直線x=4交于雙曲線，且y₃∥y₂，求y₃的解析式；
（3）直接寫出$\frac{{k}_{1}}{x}$-k₃x-b₂＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由點A可得反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求得點B坐標，利用點A、B坐標可求得直線y₂的解析式；
（2）由x=4與雙曲線解析式求得交點C的坐標，由y₃∥y₂知k₃=k₂=$\frac{5}{6}$，結合點C坐標可得直線y₃的解析式；
（3）利用函數(shù)圖象找到雙曲線位于直線y₃下方所對應的x的范圍即可．

解答 解：（1）把A（2，5）代入雙曲線y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$得k₁=2×5=10，
∴y₁=$\frac{10}{x}$，
把B（-6，n）代入y₁=$\frac{10}{x}$得：-6n=10，
解得n=-$\frac{5}{3}$，
∴B點坐標為（-6，-$\frac{5}{3}$），
把A（2，5），B（-6，-$\frac{5}{3}$）代入y₂=k₂x+b₁得$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+_{1}=5}\\{-6{k}_{2}+_{1}=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{5}{6}}\\{_{1}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴y₂=$\frac{5}{6}$x+$\frac{10}{3}$；

（2）如圖，

把x=4代入y₁=$\frac{10}{x}$得y=$\frac{5}{2}$，
則C點坐標為（4，$\frac{5}{2}$），
∵y₃∥y₂，
∴k₃=k₂=$\frac{5}{6}$，
把C（4，$\frac{5}{2}$）代入y₃=$\frac{5}{6}$x+b₂得$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{6}$×4+b₂，
解得b₂=-$\frac{5}{6}$，
∴y₃=$\frac{5}{6}$x-$\frac{5}{6}$；

（3）-3＜x＜0或x＞4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標同時滿足兩個函數(shù)解析式；利用待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式．也考查了觀察圖象的能力．