Question

8．在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、連結(jié)OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F，連結(jié)EF．已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠DEF的值．
（3）連結(jié)AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，求相應(yīng)的t的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DE∥OA，DE=$\frac{1}{2}$OA=4，再由矩形的性質(zhì)證出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，證出四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，證明四邊形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行線得出比例式$\frac{BD}{DO}=\frac{BN}{NA}$，$\frac{DO}{BD}$=$\frac{OM}{MA}$，由三角形中位線定理得出DM=$\frac{1}{2}$AB=3，DN=$\frac{1}{2}$OA=4，證明△DMF∽△DNE，得出$\frac{DF}{DE}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{3}{4}$，再由三角函數(shù)定義即可得出答案；
（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；
①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，NE=3-t，由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（3-t），求出AF=4+MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，得出G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t），求出直線AD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，把G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t）代入即可求出t的值；
②當(dāng)點(diǎn)E越過中點(diǎn)之后，NE=t-3，由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（t-3），求出AF=4-MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，得出G（$\frac{3t+23}{6}$，$\frac{1}{3}$t），代入直線AD的解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x+6求出t的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴DE∥OA，DE=$\frac{1}{2}$OA=4，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四邊形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；

（2）∠DEF的大小不變；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如圖2所示：
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四邊形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴$\frac{BD}{DO}=\frac{BN}{NA}$，$\frac{DO}{BD}$=$\frac{OM}{MA}$，
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴M、N分別是OA、AB的中點(diǎn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=3，DN=$\frac{1}{2}$OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{3}{4}$；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，
設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；
①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，如圖3所示，NE=3-t，
由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（3-t），
∴AF=4+MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，
∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，
∴G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
把G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t）代入得：t=$\frac{75}{41}$；
②當(dāng)點(diǎn)E越過中點(diǎn)之后，如圖4所示，NE=t-3，
由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（t-3），
∴AF=4-MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，
∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，
∴G（$\frac{3t+23}{6}$，$\frac{1}{3}$t），
代入直線AD的解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x+6得：t=$\frac{75}{17}$；
綜上所述，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，t的值為$\frac{75}{41}$或$\frac{75}{17}$

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、一次函數(shù)解析式的求法等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．