Question

17．正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，如圖所示，在劣弧上取一點(diǎn)E，連接DE、BE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形EBFD是矩形；
（2）求證：DG=BE；
（3）若點(diǎn)E是劣弧AB的中點(diǎn)，求tan∠ABE的值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，想辦法證明∠EBF=∠BED=∠BFD=90°，即可解決問(wèn)題．
（2）連接OA．只要證明△DGF是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．
（3）連接OE交AB于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a．在Rt△AHO中，由AH=OH=a，推出OA=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，EH=OE-OH=$\sqrt{2}$a-a，根據(jù)tan∠ABE=$\frac{EH}{BH}$，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：連接BD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴BD是直徑，
∴∠BED=∠BFD=90°，
∵DF∥BE，
∴∠DFB+∠EBF=180°，
∴∠EBF=∠BED=∠BFD=90°，
∴四邊形EBFD是矩形．

（2）解：連接OA．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DFA=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵四邊形EBFD是矩形，
∴∠GDF=90°，BE=DF，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
∴DG=BE．

（3）解：連接OE交AB于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a．
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠AOE=∠BOE=45°，OE⊥AB，
在Rt△AHO中，∵AH=OH=a，
∴OA=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，
∴EH=OE-OH=$\sqrt{2}$a-a，
∴tan∠ABE=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{a}$=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．