Question

2．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，證明：PG=$\sqrt{3}$PC．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）延長GP，交CD于點(diǎn)H，只要證明∴△DPH≌△FGP（AAS），再證明CH=CG，即可解決問題．
（2）思路同上，延長GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

解答 解：（1）延長GP，交CD于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD與△BGF是等邊三角形，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠FGB=60°
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDH=∠PFG}\\{∠DHP=∠PGF}\\{DP=PF}\end{array}\right.$，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{3}$PC；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．
證明：如圖（2），延長GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD=BG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠GBFF=60°，
∴∠HDC=∠GBC=60°，
∵DH=BG，∠HDC=∠GBC，DC=BC，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG∠HCD=∠GCB，
∴PG⊥PC（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°，
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB，
∴∠HCG=120°，
∴∠GCP=60°，
∴$\frac{PG}{PC}$=tan∠GCP=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于參考�？碱}型．