Question

17．如圖，等邊△ABC邊長為4，E是邊AB上動點，EH⊥BC于H，過E作EF∥BC，交線段AC于點F，在線段BC上取點P，使PE=AE．設(shè)BE=x（0＜x≤2）
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段BC上的動點，當四邊形EFPQ是平行四邊形時，求?EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）求（2）中 的?EFPQ的最大面積，并判斷此時?EFPQ的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥BC，可得等邊三角形AEF，則可寫出與EF相等的線段；
（2）根據(jù)（1）可知EF=AE=4-x，要求平行四邊形的面積，只需求得EF邊上的高．作EH⊥BC于H，根據(jù)30度的直角三角形EHB進行表示EH的長，進一步求得平行四邊形的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點式或頂點的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時x的值，判斷平行四邊形形狀．

解答 解：（1）線段EF相等的兩條線段是AE，AF；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=AF；

（2）如圖，連接FP，作EQ∥FP交FE于E
∵BE=x，EH⊥BC，
∴∠EHB=90°，
∵∠C=60°，
在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∠B=60°
∠HEB=180°-∠C-∠EHC=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$x，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵四邊形EFPQ為平行四邊形
∴PQ=FE
又∵PE=AE
∴PQ=EF=AE=4-x
∴S_{平行四邊形EFPQ}=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2$\sqrt{3}$x．

（3）∵S_{平行四邊形EFPQ}=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2$\sqrt{3}$x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²+2$\sqrt{3}$
∴當x=2時，S_{平行四邊形EFPQ}有最大值=2$\sqrt{3}$．
此時E、F、P分別為△ABC三邊BC、AB、AC的中點，且點C、點Q重合
∴平行四邊形EFPQ是菱形．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的知識、平行四邊形的面積的求法，二次函數(shù)的最值問題，能正確的求出平行四邊形EFPQ的面積是解題的關(guān)鍵．