Question

9．綜合與實(shí)踐：制作無蓋盒子
任務(wù)一：如圖1，有一塊矩形紙板，長是寬的2倍，要將其四角各剪去一個正方形，折成高為4cm，容積為616cm³的無蓋長方體盒子（紙板厚度忽略不計(jì)）．
（1）請?jiān)趫D1的矩形紙板中畫出示意圖，用實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕．
（2）請求出這塊矩形紙板的長和寬．
任務(wù)二：圖2是一個高為4cm的無蓋的五棱柱盒子（直棱柱），圖3是其底面，在五邊形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）試判斷圖3中AE與DE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）圖2中的五棱柱盒子可按圖4所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個矩形紙板的長和寬至少各為多少cm？請直接寫出結(jié)果（圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)）．

Answer 1

分析 任務(wù)一：（1）按要求畫出示意圖即可；
（2）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長為2xcm，根據(jù)題意列出方程，解之即可．
任務(wù)二：（1）AD=DE，延長EA、ED分別交直線BC于點(diǎn)M、N，先證明EM=EN，再證明△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；
（2）如圖4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，連接AD，GF，
過B，C分別作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，過E作EP⊥AD于P，
則GF即為矩形紙板的長，MN=BC=12，AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°，
求出AM=DN=3，BM=CN=3$\sqrt{3}$，
然后通過三角形相似即可得到結(jié)果．

解答 解：任務(wù)一：（1）如圖1所示：

（2）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長為2xcm，
由題意得：4（x-2×4）（2x-2×4）=616，解得：x₁=15，x₂=-3（舍去），
∴2x=2×15=30，
答：矩形紙板的長為30cm，寬為15cm；

任務(wù)二：解：（1）AE=DE，證明如下：
如圖4，延長EA，ED分別交直線BC于M，N，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=30°，
∴EM=EN，
在△MAB與△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠ABM=∠DCN}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△NDC，
∴AM=DN，
∴EM-AM=EN-DN，
∴AE=DE；

（2）如圖5，過B，C分別作BP⊥AD于P，CQ⊥AD于Q，GI⊥KH于點(diǎn)F，
則KH即為矩形紙板的長，GI即為矩形紙板的寬，
∴PQ=BC=12，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BAP=∠CDQ=60°，
∵AB=CD=6，
∴AP=DQ=3，BP=CQ=FJ=3$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（3+3+12）=9，
∴$AE=6\sqrt{3}$，F(xiàn)E=3$\sqrt{3}$，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=60°，
∵M(jìn)E=NE=4，
∴GE=2$\sqrt{3}$，
∴GI=GE+EJ+JI=2$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$+4=8$\sqrt{3}$+4，
∵∠KAS=90°-∠PAB=30°=∠HDT，
∴AK=DH=2$\sqrt{3}$，
∴KH=3+3+12+4$\sqrt{3}$=18+4$\sqrt{3}$，
∴矩形紙板的長至少為18+4$\sqrt{3}$，矩形紙板的寬至少為4+8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了長方體的平面圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．