Question

11．如圖，平面直角坐標系中，A（4，2）、B（3，0），將△ABO繞OA中點C逆時針旋轉90°得到△A′B′O′，連接OA′，則四邊形OA′B′B的面積為6.5．

Answer 1

分析 過A'作O'B'的垂線交y軸于點N，由旋轉性質得A'M=2，即可知A'N=MN-A'M=1、OA=2$\sqrt{5}$，根據(jù)C為OA中點得A'C=OC=$\sqrt{5}$，求得OA'=$\sqrt{10}$、ON=3，再求得B′M=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{M}^{2}}$=1，根據(jù)S_{四邊形OA′B′B}=S_矩形OBMN-S_△A′NO-S_△A′B′M即可求得答案．

解答 解：如圖過A'作O'B'的垂線交y軸于點N，

∵點A到OB的距離是2，
∴點A'到O'B'的距離A'M=2，
故A'N=MN-A'M=OB-A'M=3-2=1，
由勾股定理得OA=2$\sqrt{5}$，
∴A'C=OC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理OA'=$\sqrt{10}$，
在Rt△OA'N中，用勾股定理得ON=3，
∵A′B′=AB=$\sqrt{（3-4）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴B′M=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
則S_{四邊形OA′B′B}=S_矩形OBMN-S_△A′NO-S_△A′B′M
=3×3-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×2
=6.5，
故答案為：6.5．

點評 本題主要考查坐標與圖形的變化-旋轉，抓住旋轉的三要素：旋轉中心C，旋轉方向逆時針，旋轉角度90°，求得ON、A′M的長是解題的關鍵．