Question

9．如圖，PA、PB為⊙O的切線，⊙O的半徑為2，∠P=60°．陰影部分的周長是$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$，面積是4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 連結(jié)OA、OB、OP，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB，則∠AOB=180°-∠APB=120°，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，利用弧長公式可計算出弧AB的長=$\frac{4}{3}$π，利用扇形面積公式可計算出扇形AOB的面積=$\frac{4}{3}$π，接著在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得PA=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，則S_△AOP=2$\sqrt{3}$，然后計算弧AB、PA、PB的和得到陰影部分的周長，計算2S_△AOP-S_扇形AOB得到陰影部分的面積．

解答 解：連結(jié)OA、OB、OP，如圖，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴弧AB的長=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
扇形AOB的面積=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
在Rt△AOP中，∵∠APO=30°，
∴PA=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的周長=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$
陰影部分的面積=2S_△AOP-S_扇形AOB=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．
故答案為$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$；4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了弧長公式和扇形的面積公式．