Question

14．如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D是AB的中點，AE=CF．
（1）猜想：DE與DF的數(shù)量和位置關(guān)系分別為相等、垂直；
（2）證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形可得猜想DE=DF，DE⊥DF；
（2）首先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠DCF=$\frac{1}{2}∠$ACB=45°，由直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△AED≌△CFD可得ED=DF，∠EDA=∠CDF，再證明△DFB≌△DEC可得∠EDC=∠FDB，進而可得到ED⊥DF．

解答 （1）解：DE=DF，DE⊥DF；

（2）證明：連接CD，
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=45°，
∵D是AB的中點，∠C=90°，
∴AD=CD，
∵CA=CB，D是AB的中點，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}∠$ACB=45°，
在△AED和△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴ED=DF，
∴∠EDA=∠CDF，∠AED=∠DFC，
∴∠CED=∠DFB，
∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=BF，
在△CED和△BFD中$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠CED=∠BFD}\\{ED=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DEC（SAS），
∴∠EDC=∠FDB，
∵∠ADE+∠EDC+∠CDF+∠FDB=180°，
∴∠EDF=90°，
∴ED⊥DF．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．