Question

14．如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連結OE，已知$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
（1）求證：BE=DE；
（2）如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB，DE=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質得到結論；
（2）過O作OF⊥AD與F，OG⊥BC于G，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根據(jù)全等三角形的性質得到OF=OG，證得四邊形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，設OF=EF=x，則AF=FD=x+1，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
在△ABE與△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE；

（2）過O作OF⊥AD與F，OG⊥BC于G，連接OA，OC，
根據(jù)垂徑定理得：AF=FD，BG=OG，
∵AD=BC，
∴AF=OG，
在Rt△AOF與Rt△OCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CG}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG，
∴OF=OG，
∵AD⊥CB，
∴四邊形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
設OF=EF=x，
則AF=FD=x+1，
∴OF²+AF²=OA²，
即：x²+（x+1）²=5²，
解得：x=3，x=-4（舍去），
∴AF=4，
∴AE=7．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，圓心角、弧、弦的關系，勾股定理，熟練則全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．