Question

13．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{7}$或2．

Answer 1

分析 利用分類討論，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖2，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長(zhǎng)，利用勾股定理可得AP的長(zhǎng)；當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長(zhǎng)；易得BP，利用勾股定理可得AP的長(zhǎng)；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)∠APB=90°時(shí)（如圖1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP為等邊三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
當(dāng)∠ABP=90°時(shí)（如圖2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=$\frac{OB}{tan30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABP中，
AP=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP為等邊三角形，
∴AP=AO=2，
故答案為：2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{7}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．