Question

1．閱讀材料：
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，利用上述結(jié)論可以求解如下題目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{6sin30°}{sin45°}$=$\frac{6×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．
理解應(yīng)用：
如圖，甲船以每小時30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A₁處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁處，且乙船從B₁處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A₂時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂處，此時兩船相距10$\sqrt{2}$海里．
（1）判斷△A₁A₂B₂的形狀，并給出證明；
（2）求乙船每小時航行多少海里？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出A₁A₂=30$\sqrt{2}$×$\frac{1}{3}$=10$\sqrt{2}$，又A₂B₂=10$\sqrt{2}$，∠A₁A₂B₂=60°，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出△A₁A₂B₂是等邊三角形；
（2）先由平行線的性質(zhì)及方向角的定義求出∠A₁B₁B₂=75°-15°=60°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A₂A₁B₂=60°，A₁B₂=A₁A₂=10$\sqrt{2}$，那么∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°．然后在△B₁A₁B₂中，根據(jù)閱讀材料可知，$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{sin45°}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{sin60°}$，求出B₁B₂的距離，再由時間求出乙船航行的速度．

解答 解：（1）△A₁A₂B₂是等邊三角形，理由如下：
連結(jié)A₁B₂．
∵甲船以每小時30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A₂，
∴A₁A₂=30$\sqrt{2}$×$\frac{1}{3}$=10$\sqrt{2}$，
又∵A₂B₂=10$\sqrt{2}$，∠A₁A₂B₂=60°，
∴△A₁A₂B₂是等邊三角形；

（2）過點B作B₁N∥A₁A₂，如圖，
∵B₁N∥A₁A₂，
∴∠A₁B₁N=180°-∠B₁A₁A₂=180°-105°=75°，
∴∠A₁B₁B₂=75°-15°=60°．
∵△A₁A₂B₂是等邊三角形，
∴∠A₂A₁B₂=60°，A₁B₂=A₁A₂=10$\sqrt{2}$，
∴∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°．
在△B₁A₁B₂中，
∵A₁B₂=10$\sqrt{2}$，∠B₁A₁B₂=45°，∠A₁B₁B₂=60°，
由閱讀材料可知，$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{sin45°}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{sin60°}$，
解得B₁B₂=$\frac{10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
所以乙船每小時航行：$\frac{20\sqrt{3}}{3}$÷$\frac{1}{3}$=20$\sqrt{3}$海里．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，方向角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力．正確理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．