Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C沿著某條路徑運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn)A（0，4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)B（m，1），若-5≤m≤5，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸上取點(diǎn)P（0，1），過(guò)P作直線l∥x軸，作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，構(gòu)造Rt△BCN≌Rt△ACM，得出CN=CM，若連接CP，則點(diǎn)C在∠BPO的平分線上，進(jìn)而得出動(dòng)點(diǎn)C在直線CP上運(yùn)動(dòng)；再分兩種情況討論C的路徑端點(diǎn)坐標(biāo)：①當(dāng)m=-5時(shí)，②當(dāng)m=5時(shí)，分別求得C（-1，0）和C₁（4，5），而C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是CC₁的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得CC₁的長(zhǎng)度．

解答 解：如圖1所示，在y軸上取點(diǎn)P（0，1），過(guò)P作直線l∥x軸，

∵B（m，1），
∴B在直線l上，
∵C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為90°，
∴BC=AC，∠ACB=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠1=∠2，
作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，則Rt△BCN≌Rt△ACM，
∴CN=CM，
若連接CP，則點(diǎn)C在∠BPO的平分線上，
∴動(dòng)點(diǎn)C在直線CP上運(yùn)動(dòng)；
如圖2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，
∴分兩種情況討論C的路徑端點(diǎn)坐標(biāo)，

①當(dāng)m=-5時(shí)，B（-5，1），PB=5，
作CM⊥y軸于M，作CN⊥l于N，
同理可得△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，BN=AM，
可設(shè)PN=PM=CN=CM=a，
∵P（0，1），A（0，4），
∴AP=3，AM=BN=3+a，
∴PB=a+3+a=5，
∴a=1，
∴C（-1，0）；
②當(dāng)m=5時(shí)，B（5，1），如圖2中的B₁，此時(shí)的動(dòng)點(diǎn)C是圖2中的C₁，
同理可得C₁（4，5），
∴C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是CC₁的長(zhǎng)，
由勾股定理可得，CC₁=$\sqrt{[4-（-1）]^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及軌跡的運(yùn)用，解題時(shí)注意：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)，求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．