Question

20．已知一次函數(shù)y₁=x+m的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{6}{x}$的圖象交于A、B兩點，已知當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂．
（1）求一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有一點C到x軸的距離為2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)x＞1時，y₁＞y₂，0＜x＜1時，y₁＜y₂確定點A的橫坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點A的縱坐標(biāo)，從而得到點A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線解析式解答；
（2）根據(jù)點C到x軸的距離判斷出點C的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出橫坐標(biāo)，從而得到點C的坐標(biāo)，過點C作CD∥x軸交直線AB于D，求出點D的坐標(biāo)，然后得到CD的長度，再聯(lián)立一次函數(shù)與雙曲線解析式求出點B的坐標(biāo)，然后△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積，列式進(jìn)行計算即可得解．

解答 解：（1）∵當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，
∴點A的橫坐標(biāo)為1，
代入反比例函數(shù)解析式，$\frac{6}{1}$=y，
解得y=6，
∴點A的坐標(biāo)為（1，6），
又∵點A在一次函數(shù)圖象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=x+5；

（2）∵第一象限內(nèi)點C到x軸的距離為2，
∴點C的縱坐標(biāo)為2，
∴2=$\frac{6}{x}$，解得x=3，
∴點C的坐標(biāo)為（3，2），
過點C作CD∥x軸交直線AB于D，
則點D的縱坐標(biāo)為2，
∴x+5=2，
解得x=-3，
∴點D的坐標(biāo)為（-3，2），
∴CD=3-（-3）=3+3=6，
點A到CD的距離為6-2=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴點B的坐標(biāo)為（-6，-1），
∴點B到CD的距離為2-（-1）=2+1=3，
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×3=12+9=21．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)已知條件先判斷出點A的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．