Question

8．如圖，矩形ABCD中，AD=4，O是BC邊上的點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，BE=$\frac{3}{5}$AE，把四邊形AECD沿著CE所在的直線對(duì)折（線段AD對(duì)應(yīng)A′D′），當(dāng)⊙O與A′D′相切時(shí)，線段AB的長(zhǎng)是$\frac{32}{9}$．

Answer 1

分析 連接OF，OE，得到正方形A′FOE，設(shè)BE=3x，AE=5x，得到OE=OC=5x，OB=4-5x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)⊙O與A′D′相切于點(diǎn)F，
連接OF，OE，
則OF⊥A′D′，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=A′=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠AEC=∠A′EC，
∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，
∴∠OEA′=∠B=90°，
∵OE=OF，
∴四邊形A′FOE是正方形，
∴A′E=AE=OE=OC，
∵BE=$\frac{3}{5}$AE，
設(shè)BE=3x，AE=5x，
∴OE=OC=5x，
∵BC=AD=4，
∴OB=4-5x，
在R_tBOE中，OE²=BE²+OB²，
∴（5x）²=（3x）²+（4-5x）²，
解得：x=$\frac{4}{9}$，x=4（舍去），
∴AB=8x=$\frac{32}{9}$．
故答案為：$\frac{32}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，圖形的變換-折疊，作輔助線得到四邊形A′FOE是正方形是解題的關(guān)鍵．