Question

8．如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過B點(diǎn)且與AI相切于I點(diǎn)． 
（1）求證：AB=AC；
（2）若BC=16，⊙O的半徑是5，求AI的長．

Answer 1

分析 （1）延長AI交BC于D，連結(jié)OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得∠OBI=∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB=AC；
（2）由OI∥BC，得到△AOI∽△ABD，得到比例式，再根據(jù)勾股定理求得AD=$\sqrt{AB2-BD2}$=$\frac{32}{3}$，于是就可得．

解答 解：（1）延長AI交BC于D，連結(jié)OI，作BH⊥AC于H，如圖，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠DBI=∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI為⊙O的切線，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AB=AC；

（2）∵OI∥BC，
∴△AOI∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OI}{BD}$=$\frac{AI}{AD}$，
∴$\frac{AB-5}{AB}$=$\frac{5}{8}$，
∴AB=$\frac{40}{3}$，
∴AD=$\sqrt{AB2-BD2}$=$\frac{32}{3}$，
∴AI=$\frac{OI}{BD}$•AD=$\frac{5}{8}$×$\frac{32}{3}$=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．