Question

6．如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D是弧AC的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BC=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，則sin∠AEB的值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在△ABE與△DBC中，有∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC=90°，得到△ABE∽△DBC，可知∠AEB=∠DCB，在Rt△DCB中，先由勾股定理求出BD的值，再根據(jù)正弦的定義求出sin∠DCB，得出sin∠AEB的值．

解答 解：∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．
在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴sin∠DCB=BD：BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判斷，同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角及解三角函數(shù)的知識(shí)，本題是一道較難的題目．