Question

17．二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A（-1，0），點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式，并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D是拋物線在第一象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、c的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值；然后利用配方法把該函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，易求其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，作ED⊥OC于點(diǎn)D，就可以表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而表示出四邊形面積的表達(dá)式，利用函數(shù)的解析式確定其最值，有最大值則點(diǎn)D存在，就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-1，0），點(diǎn)C（0，2）分別代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=a-\frac{3}{2}+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
則該函數(shù)解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
因?yàn)閥=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$．
所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；

（2）存在．設(shè)點(diǎn)D如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC于點(diǎn)E，
∵A（-1，0），對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{3}{2}$，
∴B（4，0）．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）
∴EC=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-2=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a，DE=a
S_{四邊形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=$\frac{1}{2}$（a+4）（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）-$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a）
即S=-a²+4a+4=-（a-2）²+8，
當(dāng)a=2時(shí)，S_最大=8，
當(dāng)a=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$×4+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、平面圖形的面積的計(jì)算，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度比較大．