Question

11．某公司經(jīng)銷農(nóng)產(chǎn)品業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價格向農(nóng)戶收購農(nóng)產(chǎn)品后，以甲、乙兩種方式進(jìn)行銷售，甲方式包裝后直接銷售；乙方式深加工后再銷售．甲方式農(nóng)產(chǎn)品的包裝成本為1萬元/噸，根據(jù)市場調(diào)查，它每噸平均銷售價格y（單位：萬元）與銷售量m（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系為y=-m+14（2≤m≤8）；乙方式農(nóng)產(chǎn)品深加工等（不含進(jìn)價）總費(fèi)用S（單位：萬元）與銷售量n（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是S=3n+12，平均銷售價格為9萬元/噸．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-b2}{4a}$）
（1）該公司收購了20噸農(nóng)產(chǎn)品，其中甲方式銷售農(nóng)產(chǎn)品x噸，其余農(nóng)產(chǎn)品用乙方式銷售，經(jīng)銷這20噸農(nóng)產(chǎn)品所獲得的毛利潤為w萬元（毛利潤=銷售總收入-經(jīng)營總成本）．
①直接寫出：
甲方式購買和包裝x噸農(nóng)產(chǎn)品所需資金為4x萬元；
乙方式購買和加工其余農(nóng)產(chǎn)品所需資金為（132-6x）萬元；
②求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
③若農(nóng)產(chǎn)品全部銷售該公司共獲得了48萬元毛利潤，求x的值；
④若農(nóng)產(chǎn)品全部售出，該公司的最小利潤是多少．
（2）該公司現(xiàn)有流動資金132萬元，若將現(xiàn)有流動資金全部用于經(jīng)銷農(nóng)產(chǎn)品，
①其中甲方式經(jīng)銷農(nóng)產(chǎn)品x噸，則總經(jīng)銷量p為-x+14噸（用含x的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)x為何值時，使公司獲得最大毛利潤，并求出最大毛利潤．

Answer 1

分析 （1）①甲方式購買和包裝x噸農(nóng)產(chǎn)品所需資金為：4x萬元；乙方式購買和加工其余農(nóng)產(chǎn)品所需資金為：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）萬元；
②當(dāng)2≤x＜8時，當(dāng)x≥8時，分別列出函數(shù)解析式即可；
③當(dāng)2≤x＜8時，列方程得到-x²+7x+48=48，解得x₁=7，x₂=0（不合題意）；當(dāng)x≥8時，-x+48=48，解得x=0．得到當(dāng)毛利潤達(dá)到48萬元時，甲種方式銷售7噸；
④由題意可知，當(dāng)x=8時，利潤最小為40萬元．
（2）本問是方案設(shè)計(jì)問題，總投入為132萬元，這筆132萬元包括購買農(nóng)產(chǎn)品的費(fèi)用+甲方式農(nóng)產(chǎn)品加工成本+乙方式農(nóng)產(chǎn)品加工成本．①其中甲方式經(jīng)銷農(nóng)產(chǎn)品x噸，則總經(jīng)銷量p為-x+14噸，②共購買了m噸農(nóng)產(chǎn)品，其中甲方式農(nóng)產(chǎn)品為x噸，乙方式農(nóng)產(chǎn)品為（m-x）噸，分別求出當(dāng)2≤x＜8時及當(dāng)x≥8時w關(guān)于x的表達(dá)式，并分別求出其最大值．

解答 解：（1）①甲方式購買和包裝x噸農(nóng)產(chǎn)品所需資金為：4x萬元；
乙方式購買和加工其余農(nóng)產(chǎn)品所需資金為：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）萬元；
故答案為：4x，（132-6x）；
②當(dāng)2≤x＜8時，
w_甲=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
當(dāng)x≥8時，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
③當(dāng)2≤x＜8時，-x²+7x+48=48，解得x₁=7，x₂=0（不合題意）；
當(dāng)x≥8時，-x+48=48，解得x=0．
∴當(dāng)毛利潤達(dá)到48萬元時，甲種方式銷售7噸．
④由題意可知，當(dāng)x=8時，利潤最小為40萬元．

（2）設(shè)該公司用132萬元共購買了m噸農(nóng)產(chǎn)品，其中甲方式購買x噸，乙方式購買（m-x）噸，
則購買費(fèi)用為3m萬元，甲方式農(nóng)產(chǎn)品加工成本為x萬元，乙方式農(nóng)產(chǎn)品加工成本為[12+3（m-x）]萬元，
∴3m+x+[12+3（m-x）]=132，化簡得：x=3m-60．
①當(dāng)2≤x＜8時，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_A+w_B-3×m
=（-x²+13x）+（6m-6x-12）-3m
=-x²+7x+3m-12．
將3m=x+60代入得：w=-x²+8x+48=-（x-4）²+64
∴當(dāng)x=4時，有最大毛利潤64萬元，
此時m=$\frac{64}{3}$，m-x=$\frac{52}{3}$；
②當(dāng)x≥8時，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12
∴w=w_甲+w_乙-3×m
=（5x）+（6m-6x-12）-3m
=-x+3m-12．
將3m=x+60代入得：w=48
∴當(dāng)x＞8時，有最大毛利潤48萬元．
綜上所述，購買農(nóng)產(chǎn)品共$\frac{64}{3}$噸，其中甲方式農(nóng)產(chǎn)品4噸，乙方式農(nóng)產(chǎn)品$\frac{52}{3}$噸，公司能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤為64萬元．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，難度較大．解題關(guān)鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關(guān)系．涉及到分段函數(shù)時，注意要分類討論．