Question

13．如圖所示，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，AB交OP于M，N為PM的中點(diǎn)，NT切⊙O于T點(diǎn)，求證：NT=NP．

Answer 1

分析 直線OP交⊙O于C、D，連接OA，如圖，利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷PO⊥AB，則利用射影定理得到AM²=OM•PM=OM•2MN，再有相交弦定理得到AM²=MD•MC，所以2OM•MN=MD•MC，接著利用切割線定理得到NT²=NC•ND，再利用等量代換得到NT²=MN²，從而得到NT=MN，所以NT=NP．

解答 證明：直線OP交⊙O于C、D，連接OA，如圖，
∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，
∴PO⊥AB，
∴AM²=OM•PM，
而MN=PN，
∴AM²=OM•2MN，
∵AM²=MD•MC，
∴2OM•MN=MD•MC，
∴NT²=NC•ND=（MN-MC）•（MD+MN）=MN²+（MD-MC）•MN-MC•MD=MN2+2OM•MN-MC•MD=MN²，
∴NT=MN，
∴NT=NP．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．熟練掌握應(yīng)用射影定理、相交弦定理和切割線是解決問題的關(guān)鍵．