Question

10．如圖，四邊形ABCD和GBHD都是平行四邊形，G，H分別在AB，CD邊上，連接AC分別交DG，BH于點F，M，過F作FE∥AD交CD于E．若$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求證：AF=CM；
（2）求$\frac{FM}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{7}$，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，DG∥BH，AB=CD，BG=DH，得出CH=AG，△AGF∽△CDF，△CHM∽△ABM，得出對應邊成比例$\frac{AG}{CD}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{AM}=\frac{CH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{AF}{AC}$=$\frac{CM}{AC}$，即可得出結(jié)論；
（2）由AF=CM和比例的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵FE∥AD，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{5}$，∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{7}$，
∵四邊形ABCD和GBHD都是平行四邊形，
∴AB∥CD，DG∥BH，AB=CD，BG=DH，
∴CH=AG，△AGF∽△CDF，△CHM∽△ABM，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{AM}=\frac{CH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{2}{7}$，∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{CM}{AC}$，
∴AF=CM；
（2）∵AF=CM，$\frac{CM}{AC}$=$\frac{2}{7}$，
∴$\frac{FM}{AC}$=$\frac{3}{7}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、比例的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．