Question

14．操作：將一把三角尺放在正方形ABCD中，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動．直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．探究：
①當(dāng)點Q在DC上時（如圖②），線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試說明你的結(jié)論．
②當(dāng)點Q在DC延長線上時（如圖③），①中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
③若AB=1，AP=X，是否存在點P（P與A不重合），使△PCQ為等腰三角形？若存在，求X的值，不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點P作正方形對邊CD、AB的垂線垂足為M、N，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出BP=QP；
（2）過點P作正方形對邊CD、AB的垂線垂足為M、N，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出BP=QP；
（3）△PCQ可以成為等腰三角形．當(dāng)點Q在DC邊上時，利用勾股定理可得到x的方程；當(dāng)點Q在DC的延長線上時，由PQ=CQ，可得到x的方程；當(dāng)Q與點C重合時，不滿足條件；從而可求得滿足條件的x的值．

解答 解：
（1）證明：
如圖1，過點P作PN⊥AB于N，PN交CD于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP，（AAS）
∴BP=QP；

（2）成立；
理由：如圖2，過點P作PN⊥AB于N，PN交CD于點M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP（AAS），
∴BP=QP；

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當(dāng)點Q在邊DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②當(dāng)點Q在邊DC的延長線上時，如圖2，
由PC=CQ得：$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$x-1，解得x=1．
③當(dāng)點Q與C點重合，△PCQ不存在．
綜上所述，x=0或1時，△PCQ為等腰三角形．

點評 本題主要考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識．在（3）中利用分類討論思想分別得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．搞清楚正方形對角線上點的特點，正方形中的三角形的三邊關(guān)系，有助于提高解題能力．