Question

9．如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)（不與與點(diǎn)D重合），PO的延長線交BC于Q點(diǎn)．
（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）若AB=6cm，AD=8cm，P從點(diǎn)A出發(fā)．以1cm/秒的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以O(shè)P=OQ，則四邊形PBQD的對角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動t秒時，AP=tcm，PD=（4-t）cm．當(dāng)四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，由此可以求得t的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△POD和△QOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OB=OD}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
又∵OB=OD
∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）答：能成為菱形；
證明：t秒后AP=t，PD=8-t，
若四邊形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-t，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得：t=$\frac{7}{4}$．
即點(diǎn)P運(yùn)動時間為$\frac{7}{4}$秒時，四邊形PBQD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．