Question

3．如圖，∠AOB=30°，點P是∠AOB內(nèi)一點，PO=8，在∠AOB的兩邊上分別有點R、Q均不同于O）．
（1）求△PQR周長的最小值；
（2）當(dāng)△PQR周長取最小值時，求∠QPR的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，作出P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，根據(jù)兩點之間線段最短得到最小值線段，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)求得∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數(shù)．

解答 解：（1）分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N．
連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．
連接OM、ON，
由軸對稱的性質(zhì)可知，OM=ON=OP=8，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，
則△MON為等邊三角形，
∴MN=8，
∵QP=QM，RN=RP，
∴△PQR周長=MN=8，
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)得到∠OMN=∠OPQ，∠ONM=∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，
∵△MON為等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM=120°，
∴∠OPQ+∠OPR=120°，
即∠QPR=120°

點評 本題考查了軸對稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點是解題的關(guān)鍵，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的靈活運用．