Question

6．如圖，⊙O的直徑AB為10，弦AC為6．
（1）利用尺規(guī)作∠ACB的平分線CD，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、BD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）所作的圖形中，求AD與BD的長(zhǎng)；
（3）求△ACD的面積．

Answer 1

分析 （1）作DC平分∠ACB交⊙O于D；
（2）根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=90°，由∠DCA=∠DCB得$\widehat{DA}$=$\widehat{DB}$，則DA=DB，所以△ADB為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算DA和DB；
（3）作AH⊥CD于H，如圖，先得到∠ACH=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得HC=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，在Rt△ADH中，利用勾股定理計(jì)算出DH=4$\sqrt{2}$，則CD=CH+DH=7$\sqrt{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：（1）如圖，CD、AD、BD為所作；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA=∠DCB，
∴$\widehat{DA}$=$\widehat{DB}$，
∴DA=DB，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$；
（3）作AH⊥CD于H，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=45°，
∴HC=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ADH中，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CD=CH+DH=7$\sqrt{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AH•CD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和勾股定理．