Question

1．如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）在y軸上是否存在點P，使以點P、A、H、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）點N（a，1）是反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的點，在x軸上有一點P，使得PM+PN最小，請求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）對于y=2x+2，令x=0求出y的值，確定出A的坐標，得到OA的長，根據tan∠AHO的值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據MH垂直于x軸，確定出M橫坐標，代入直線解析式求出縱坐標，確定出M的坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）存在，理由為：如圖所示，分兩種情況考慮：當四邊形P₁AHM為平行四邊形時；當四邊形AP₂HM為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質確定出P的坐標即可；
（3）把M坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過點N作N關于x軸的對稱點N₁，連接MN₁，交x軸于P，此時PM+PN最小，利用待定系數法確定出直線MN₁的解析式，即可確定出P的坐標．

解答 解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2，
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1，
∵MH⊥x軸，
∴點M的橫坐標為1，
∵點M在直線y=2x+2上，
∴點M的縱坐標為4，即M（1，4），
∵點M在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4；
（2）存在，如圖所示：

當四邊形P₁AHM為平行四邊形時，P₁A=MH=4，
∴P₁A+AO=4+2=6，即P₁（0，6）；
當四邊形AP₂HM為平行四邊形時，MH=AP₂=4，
∴OP₂=AP₂-OA=4-2=2，此時P₂（0，-2），
綜上，P點坐標為（0，6）或（0，-2）；
（3）∵點N（a，1）在反比例函數y=$\frac{k}{x}$上，
∴a=4，即點N的坐標為（4，1），

過點N作N關于x軸的對稱點N₁，連接MN₁，交x軸于P，此時PM+PN最小，
∵N與N₁關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），
∴N₁的坐標為（4，-1），
設直線MN₁的解析式為y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{-1=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{3}}\\{b=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MN₁的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得x=$\frac{17}{5}$，
∴P點坐標為（$\frac{17}{5}$，0）．

點評 此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，坐標與圖形性質，對稱性質，待定系數法確定一次函數解析式，以及平行四邊形的性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．