Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在AC邊上，AD=2CD，在BC弧上取一點(diǎn)E，使得∠CDE=∠ABC，連接AE，則$\frac{AE}{DE}$等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 連接CE，根據(jù)∠ABC=∠AEC且∠CDE=∠ABC可得∠AEC=∠EDC，可證得△ACE∽△ECD，得出$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CE}{DC}$，設(shè)CD=x，則AD=2x，AC=3x，分別表示出AC的長，進(jìn)而表示出CE的長，可得AE：DE的值．

解答 解：連接CE，如圖所示：∵∠ABC=∠AEC，∠CDE=∠ABC，
∴∠AEC=∠EDC，
又∵∠ACE=∠ECD，
∴△ACE∽△ECD，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CE}{DC}$，∵AD=2CD，
∴$\frac{AD}{CD}$=2，
設(shè)CD=x，則AD=2x，AC=3x，
則CE²=AC•DC=3x²，
得：CE=$\sqrt{3}$x
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{3x}{\sqrt{3}x}$=$\sqrt{3}$；
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及圓周角定理的運(yùn)用，根據(jù)圓周角定理得出兩角相等是證明三角形相似的前提，根據(jù)相似性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．