Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+4與x軸、y軸交于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)D，C分別為線段AB，BO的中點(diǎn)，如圖1，將△DCB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α，如圖2．
（1）連結(jié)OC，AD，求證：△OBC∽△ABD；
（2）當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，若△DCB旋轉(zhuǎn)至A，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)；
（3）試探索：180°＜α＜360°時(shí)，是否還有可能存在A，C，D三點(diǎn)共線的情況？若存在，求出此直線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求出BD，CD，即可判斷出△OBC∽△ABD；
（2）先確定出△ACB≌△BOA，進(jìn)而判斷出平行四邊形AOBC是矩形，即可得出結(jié)論；
（3）先求出OC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，進(jìn)而利用勾股定理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，由y=-$\frac{1}{2}$x+4得A（0，4）點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），B（8，0），
則OA=4，OB=8，
∵AD=BD，OC=BC
∴CD=$\frac{1}{2}$OA=2，BC=4，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{OB}$=$\frac{1}{2}$
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC．
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC∽△ABD．

（2）當(dāng)0°＜α＜180°，且A，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，
∵∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠BOA=90°．
又∵OA=BC=4，AB=BA，
∴△ACB≌△BOA．
∴AC=BO．
∴四邊形AOBC是平行四邊形        
又∵∠AOB=90°．
∴平行四邊形AOBC是矩形．
∴∠AOC=90°，AC=OB=8．
∴AC=AD+CD=8+2=10．
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{29}$


（3）存在．

當(dāng)180°＜α＜360°且A，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3，
連結(jié)OC，同（1）可得：△ABD∽△BOC．
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{AB}{OB}=\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
同（2）可得：△ACB≌△BOA．
∴AC=BO=8．
又CD=2，
∴AD=6．
∵$\frac{AD}{OC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{6}{OC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸于M，設(shè)OM=y，MC=x．
在Rt△OMC和Rt△AMC中有：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{12\sqrt{5}}{5}）^{2}}\\{（4+y）^{2}+{x}^{2}={8}^{2}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
設(shè)直線AC的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-\frac{12}{5}=\frac{24}{5}k+b}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
所以所求直線AC的表達(dá)式為y=-$\frac{4}{3}$x+4

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是判斷出$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ACB≌△BOA解（3）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．