Question

7．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，D、E分別在BC、AC邊上．
（1）如圖1，F(xiàn)是線段AD上的一點，連接CF，若AF=CF；
①求證：點F是AD的中點；
②判斷BE與CF的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉α角（0＜α＜90°），點F是AD的中點，其他條件不變，判斷BE與CF的關系是否不變？若不變，請說明理由；若要變，請求出相應的正確結論．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，由AF=CF得到∠1=∠2，則利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；
②先利用等腰直角三角形的性質得CA=CB，CD=CE，則可證明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，則BE=2CF，再證明∠CBE+∠3=90°，于是可判斷CF⊥BE；
（2）延長CF到G使FG=CF，連結AG、DG，如圖2，易得四邊形ACDG為平行四邊形，則AG=CD，AG∥CD，于是根據(jù)平行線的性質得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根據(jù)旋轉的性質得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接著可證明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一樣可證得CF⊥BE．

解答 （1）①證明：如圖1，
∵AF=CF，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠ADC，
∴FD=FC，
∴AF=FD，
即點F是AD的中點；
②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，∠1=∠CBE，
而AD=2CF，∠1=∠2，
∴BE=2CF，
而∠2+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°，
∴CF⊥BE；
（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
延長CF到G使FG=CF，連結AG、DG，如圖2，
∵AF=DF，F(xiàn)G=FC，
∴四邊形ACDG為平行四邊形，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°-∠ACD，
∴CD=CE=AG，
∵△DEC繞點C順時針旋轉α角（0＜α＜90°），
∴∠BCD=α，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，
∴∠GAC=∠ECB，
在△AGC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CEB，
∴CG=BE，∠2=∠1，
∴BE=2CF，
而∠2+∠BCF=90°，
∴∠BCF+∠1=90°，
∴CF⊥BE．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的性質．