Question

15．問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：
①如圖a，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖b，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°，則BM=CN；
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題：
③如圖c，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN；
任務(wù)要求：
（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（說明選①做對(duì)的得4分，選②做對(duì)的得3分，選③做對(duì)的得5分）
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
ⅰ、如圖d，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立？（不要求證明）
ⅱ、如圖e，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108° 時(shí)，試問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立．請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）正三角形ABC中，可通過全等三角形來證明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五邊形的證明過程與正三角形的一樣，都是通過全等三角形來得出線段的相等，證三角形的過程中都是根據(jù)∠BON和多邊形的內(nèi)角相等得出一組兩三角形中的一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和邊相等，得出BCM和CND全等，進(jìn)而得出BM=CN；
（2）①由（1）的證明過程可知道∠MON的度數(shù)應(yīng)該是正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，當(dāng)∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$時(shí)，結(jié)論BM=CN成立，
②可參照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通過證三角形CEN和BDM全等來得出結(jié)論，在證三角形CEN和BDM全等的過程中也是通過∠BON與正五邊形的內(nèi)角相等得出一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正五邊形的內(nèi)角減去第一對(duì)全等三角形中得出的相等角來得出另一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得證．

解答 解：（1）選命題①
在圖a中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題②
在圖b中∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題③
在圖c中，∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①當(dāng)∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$時(shí)，結(jié)論BM=CN成立．
∵在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，
∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∵∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∴∠CBM+∠BCN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∵∠BCN+∠DCN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

②BM=CN成立．
在圖⑤中，連接BD、CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識(shí)，是一道幾何型探究題，層層深入，體現(xiàn)了一個(gè)由特殊到一般的過程，考查學(xué)生的邏輯思維能力及歸納探索諸多方面的能力，是一道很好的壓軸題．本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生漸漸地從易走到難，是新課標(biāo)形勢(shì)下的成熟壓軸題．