Question

11．如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，點(diǎn)A是切點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，延長BO分別與⊙O，切線PA的延長線相交于C，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為9，OQ=15，求$\frac{AE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接PO，證明△PAO與△PBO全等即可；
（2）設(shè)OP與AB交于點(diǎn)F，連接DF，則DF為△PAO中位線；根據(jù)勾股定理算出AQ，進(jìn)而算出PB、PA，接著算出AE與EF之比，AE與BE之比也就自然可知了．

解答 解：（1）如圖1，連接PO，

∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，
∴OA⊥PA，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠ABO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切線；
（2）如圖2，設(shè)OP與AB交于點(diǎn)F，連接DF，

則OP垂直平分AB，
∴F為AB中點(diǎn)，
∵D為PB中點(diǎn)，
∴DF∥PA，DF=$\frac{1}{2}PA$，
∵OA=9，OQ=15，
∴AQ=12，
∵∠QBP=∠QAO=90°，
∴△QPB∽△POA，
∴$\frac{BQ}{PB}=\frac{AQ}{OA}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴PB=18，
∴PQ=30，
∴PA=18，
∵DF∥PQ，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AQ}{DF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∵AF=BF，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．熟悉切線的判定定理、性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵．