Question

5．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點(diǎn)N，連接AC，點(diǎn)E在AB上，且AE=CE
（1）求證：AC²=AE•AB；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P，試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；
（3）設(shè)⊙O半徑為4，點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在⊙O上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）證明△AEC∽△ACB，列比例式可得結(jié)論；
（2）如圖2，證明∠PEB=∠COB=∠PBN，根據(jù)等角對等邊可得：PB=PE；
（3）如圖3，先確定線段PQ的最小值時(shí)Q的位置：因?yàn)镺Q為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時(shí)，PQ最小，當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，先求AE的長，從而得PB的長，最后利用勾股定理求OP的長，與半徑的差就是PQ的最小值．

解答 證明：（1）如圖1，連接BC，
∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，
∴∠A=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴AC²=AE•AB；

（2）PB=PE，理由是：
如圖2，連接OB，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，
∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，
∴∠PEB=∠PBN，
∴PB=PE；

（3）如圖3，∵N為OC的中點(diǎn)，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB為等邊三角形，
∵Q為⊙O任意一點(diǎn)，
連接PQ、OQ，
因?yàn)镺Q為半徑，是定值4，
則PQ+OQ的值最小時(shí)，PQ最小，
當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，
∴Q為OP與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，PQ最小，
∠A=$\frac{1}{2}$∠COB=30°，
∴∠PEB=2∠A=60°，
∠ABP=90°-30°=60°，
∴△PBE是等邊三角形，
Rt△OBN中，BN=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2BN=4$\sqrt{3}$，
設(shè)AE=x，則CE=x，EN=2$\sqrt{3}$-x，
Rt△CNE中，x²=2²+（2$\sqrt{3}$-x）²，
x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴BE=PB=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
Rt△OPB中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{21}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$$\sqrt{21}$-4=$\frac{4\sqrt{21}-12}{3}$．
則線段PQ的最小值是$\frac{4\sqrt{21}-12}{3}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題，考查了三角形相似的性質(zhì)和判定、等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，第三問有難度，確定PQ最小值時(shí)Q的位置是關(guān)鍵，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，與勾股定理、方程相結(jié)合，解決問題．