Question

6．如圖，正五邊形ABCDE的對角線AC，BE相交于M，求證：四邊形CDEM是菱形．

Answer 1

分析 根據正五邊形的性質可得CD=DE，再求出∠D，再根據圓周角定理求出∠BED，從而得到∠D+∠BED=180°，然后根據同旁內角互補兩直線平行求出BE∥CD，同理可得AC∥DE，然后判斷出四邊形CDEM是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．

解答 證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴CD=DE，∠D=$\frac{1}{5}$×（5-2）×180°=108°，
由圓周角定理得，∠BED$\frac{2}{5}$×180°=72°，
∴∠D+∠BED=108°+72°=180°，
∴BE∥CD，
同理可得AC∥DE，
∴四邊形CDEM是平行四邊形，
又∵CD=DE，
∴四邊形CDEM是菱形．

點評 本題考查了正多邊形和圓，菱形的判定，主要利用了正五邊形的性質，圓周角定理，熟記性質與定理并求出四邊形的對邊平行是解題的關鍵．