Question

18．如圖，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，0），B（4，0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先作出點(diǎn)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)A′，從而得到PA=PA′，故此PA+PB=PA′+PB，由兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B即為所求．

解答 解：取點(diǎn)A′使OA′=OA，連接A′B．

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，2）．
∴點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱．
∴PA′=PA．
∴PA+PB=PA′+PB．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)A′、P、B在一條直線上時(shí)，PA+PB有最小值．
在Rt△A′OB中，A′B=$\sqrt{OA{′}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是最短線路問(wèn)題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．